Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Эти вычисления приводят к ответу: f(7)=90 – это последние число второй строки. Это утверждение можно проверить непосредственной подстановкой

Одной из основных задач, ради которой в математике развивалась теория многочленов с одной переменной, являете решение так называемых целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

произвольных степеней и с произвольными коэффициентами. В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие - корень многочлена.

Определение. Число с называется корнем многочлена f, если f (с) = 0.

Другими словами, число с является корнем многочлена, если

a0cn + a1cn-1 + … + an-1c + an = 0.

Это равенство означает, что число с является корнем уравнения

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

при подстановке вместо х числа с получается верное равенство. Поэтому корень многочлена f и корень соответствующего уравнения f (х) = 0 - это одно и то же.

Понятно, что схема Горнера позволяет проверять, является ли данное число с корнем данного многочлена или нет: с ее помощью мы как раз и вычисляем значение f (с).

Если требуется проверить несколько значений с, то для экономии выкладок строят не три отдельные схемы, а одну - объединенную. Например, для многочлена f=3x5-5x4-7x2+12 и чисел с = 1, -1, 2 составляется таблица:

Конечно, при заполнении третьей и четвертой строки таблицы "работает" только первая строка - строка коэффициентов многочлена f.

Мы видим, в частности, что из трех рассмотренных чисел только с = 2 является корнем данного многочлена.

2.Целые и дробные корни многочленов. В этом пункте приводится теория, которая позволяет ответить на вопрос является ли число корнем данного многочлена.

Одной из основных задач теории многочленов с одной переменной является решение целых алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0,

Эта задача, однако, чрезвычайно сложна и, как доказано в математике, в определенном смысле вообще неразрешима. Если для уравнений низких степеней - от первой до четвертой - существуют специальные формулы для вычисления корней, то для уравнений пятой и более высоких степеней дело обстоит иначе, и их корни, вообще говоря, могут быть найдены лишь приближенными методами.

В то же время полностью может быть решена более узкая задача - нахождение рациональных, т. е. целых и дробных (если они существуют) корней любого уравнения (многочлена) с целыми коэффициентами. Более того, поиск таких корней достаточно прост и основан на простейшем рассуждении, ясном из следующего примера.

Пример. Определить является ли число 7 корнем многочлена

f = 2x5 – 15x4 + 7x3 – 2x + 10.

Преложим учащимся вычислить значение f(7) по схеме Горнера.

Мы видим, что число 7 не является корнем данного уравнения. Обратим внимание учащихся на то, что даже по схеме Горнера вычисления могут быть очень громоздкими. Если в задаче нужно проверить является ли число -13 корнем данного уравнения, то числа будут получаться просто астрономическими.

Как же быть? Нет ли более простого способа, который позволил бы нам определить может ли данное число быть корнем нашего уравнения?

Вернемся к примеру. Можно заметить, что в сумме

2·75 – 15·74 + 7·73 – 2·7 + 10

все слагаемые, кроме последнего, - целые числа, делящиеся на 7. Отсюда ясно, что эта сумма не равна 0. Действительно, если

2·75 – 15·74 + 7·73 – 2·7 + 10 = 0,

2·75 – 15·74 + 7·73 – 2·7 = -10,

Но этого не может быть, потому что левая часть равенства делится на 7, а правая не делится. Это рассуждение показывает, что целыми корнями данного многочлена могут быть только числа, являющиеся делителями числа -10. Для любого другого числа мы точно так же, как для 7, приходим к противоречию.

Новое о педагогике:

Сущность и содержание развития творческого потенциала школьника
Для исследования является важным определить понятие «сущность». Под сущностью в философии понимается внутреннее содержание предмета, выражается в единстве всех многообразных и противоречивых форм его бытия. В чем же состоит внутреннее соде ...

Аксиологические проблемы современного образования в России
Прежде всего, отметим утрату образованием ясных целевых установок и приоритетов, что лишь на первый взгляд обусловлено процессами деидеологизации. В действительности же причины лежат гораздо глубже - в сфере структурных изменений общества. ...