Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Основные свойства делимости в множестве многочленов те же, что и в множествах натуральных и целых чисел. Например, если f делится на g и g делится на h то f делится на h.

В самом деле, если f = gu и g = hv, то f = uhv = h (uv) так что f действительно делится на h. Доказательства этих свойств проводятся точно так же, как и в числовых множествах.

Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен g, т. е. f представляется в виде f = gh, то уравнение f(х)=0 равносильно уравнению g(х)h(х)=0. Поэтому дальше надо решить уравнения g(х)=0 и h(х)=0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т. е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для ее решения полезным оказывается новое понятие - деление многочленов с остатком. С подобным понятием (деление с остатком) учащиеся уже встречались в множестве натуральных чисел.

Определение. Остатком от деления многочлена f на многочлен g¹0 называется такой многочлен r, что

1) разность f-r делится на g;

2) многочлен r либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень g.

Отметим сразу же, что утверждения: "остаток от деления f на g - нулевой" и " f делится на g" означают одно и то же.

Из определения остатка следует, что если r — остаток от деления f на g, то разность f - г имеет вид gq, где q - некоторый многочлен, и следовательно, f=gq+r. Это представление многочлена через делимое g и остаток r очень важно для теории и для практики решения задач.

Но дело в том, что определение частного и остатка не дают никакой информации о существовании и единственности частного и остатка при делении одного многочлена на другой. Поэтому нам понадобится следующая теорема:

Теорема.

Для любого многочлена f(x) и любого ненулевого многочлена g(x) существует единственная пара многочленов g(x) и r(x), для которой выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r, и многочлен r(x) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую степени g(x).

Коротко эту теорему можно сформулировать так: любой многочлен на любой ненулевой многочлен можно однозначно разделить с остатком. Именно эта однозначность и позволяет ввести термины "остаток" и "частное" (или, как и в натуральных числах, полное частное").

Для нахождения остатка существует специальный прием, алгоритм - "деление уголком". Основа этого алгоритма - последовательное понижение степени делимого. Мы покажем его на конкретном примере, а затем сформулируем правило деления.

Пусть f =4х5 – Зх3 + х – 1, g =2x2 - 3. Домножим g на такой одночлен, чтобы старшие члены f и g "уравнялись": это будет, очевидно, одночлен q1, = 2х3, а получить его можно, разделив 4х5 на 2х2. Так как старшие члены многочленов f и gq1, оказались равными, то при вычитании из f произведения gq1 получим многочлен степени меньшей, чем у многочлена f.

Обозначим эту разность через f1; тогда f1 = f — gq1 = (4х5 – Зх3 + х – 1) – (2x2 – 3)·2x3 = (4х5 – Зх3 + х – 1) – (4x5 – 6x3) = 3x3 + x – 1.

Теперь вместо f будем рассматривать многочлен f1, и уравняем старшие члены f1, и g - для этого g надо домножить на q2 = 3x3:2x2 = x. Новая разность f2, равна f2 = f — gq2 = (3x3 + x – 1) – (2x2 - 3)· x = (3x3 + x – 1) – (3x2 - x) = x – 1, и мы получили многочлен степени 1 — меньшей, чем степ многочлена g.

Оказывается, что этот многочлен f2, и есть искомый остаток (по определению). В самом деле, о степени его мы уже сказали, а с другой стороны I

f2 = f — gq2 , f1 = f — gq1 ,

и поэтому

f2 = f — gq2 = f — gq1 - gq2 ,

откуда

f = f2 + gq1 + gq2 = f2 + g(q1 + q2),

Другими словами, многочлен f2, удовлетворяет определению остатка от деления многочлена f на многочлен g.

Итак, мы разделили f на g с остатком:

4х5 – Зх3 + х – 1 = (2x2 - 3)(2x3 + x) + x – 1.

Таким образом, в процессе деления с остатком осуществляем одни и те же действия: на каждом шагу делим старший коэффициент "промежуточного" многочлена с некоторым индексом на старший коэффициент многочлена g, умножаем g на частное, вычитаем произведение из "промежуточного" многочлена, получаем следующий многочлен - до тех пор, пока не получится "промежуточный" многочлен степени меньшей, чем степень многочлена g, - это и есть остаток.

Итак, всякий многочлен f можно разделить с остатком на сбой другой многочлен g, отличный от нулевого, и это всегда можно сделать с помощью деления "уголком".

Однако в случае, когда многочлен g - линейный, т. е. f = ax+ b, то вычисления можно провести по схеме Горнера (нетрудно убедится, что схема дает одновременно и остаток, и частное).

Новое о педагогике:

Основные правила поиска работы
Поиск работы – это нелегкий труд, к которому выпускники школ должны быть всегда готовы. Нужно быть абсолютно уверенным в том, что действительно хотите начать трудовую деятельность. Существуют основные методы поиска работы, а именно: непоср ...

Конспекты театрализованных игр
1. Конспект игры-драматизации «Приходите в гости к нам!» (вторая младшая группа) Программное содержание: – Учить детей выступать перед сверстниками и взрослыми; – Закреплять умение согласовывать свои действия с другими ребятами; – Совершен ...