Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Новое в образовании » Методика обучения теме "Теорема Безу" в школьном курсе алгебры » Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Страница 6

Целое число, не являющееся делителем 10, не может быть корнем данного многочлена.

На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.

Теорема 1 (о целых корнях).

Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена.

Доказательство.

Пусть

f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

- многочлен с целыми коэффициентами, и целое число k - его корень.

Тогда, по определению корня, выполняется равенство f(k) = 0, т. е.

a0kn + a1kn-1 + … + an-1k + an = 0,

Вынося общий множитель k за скобки, получим равенство

k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) + an = 0,

откуда

an = -k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) .

Так как числа a0, a1,…, an-1, an и k - целые, то в скобках стоит целое число, и следовательно, аn делится на k, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена - с помощью теории делимости целых чисел.

Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема 2 (о рациональных корнях).

Пусть рациональное число - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь - несократимая. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство.

Пусть рациональное число где q - несократимая дробь, является корнем многочлена f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an c целыми коэффициентами.

Это означает, что выполняются равенства

f() = a0()n + a1()n-1 + … + an-1() + an = 0,

a0() + a1() + … + an-1() + an = 0,

откуда после приведения к общему знаменателю получим

a0pn + a1pn-1q + … + an-1pqn-1 + anqn = 0,

Полученное равенство можно переписать в виде

a0pn = -q(a1pn-1 + … + an-1pqn-2 + anqn-1 )= 0,

откуда следует, что a0pn делится на q. Так как дробь несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа рn и q также не имеют общих простых делителей.

Поэтому а0 делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что аn делится на р. Теорема доказана.

Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить q = 1, то дробь p/1 = р несократима, и поэтому свободный член аn делится на числитель р.

Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.

Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Доказательство.

Пусть - корень многочлена со старшим коэффициентом 1. Тогда по теореме 2 число 1 делится на q, а это возможно только когда q = +1, так что действительно является целым числом. Теорема доказана.

Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

1. "Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней".

2. "Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные".

Следует обратить внимание учащихся на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны. Например, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: "Если целое число k - делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то k - корень этого многочлена" или "Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем". Так как эти факты можно опровергнуть простой проверкой, то они могут быть предложены учащимся в качестве задач.

3. Теорема о делении с остатком. Материал, представленный в этом пункте, необходим для открытия теоремы Безу.

Определение. Пусть f и g — два многочлена, причем g ¹ 0. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f=gh.

Страницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Новое о педагогике:

Методика составления тестов
Как известно, человеческое восприятие и мышление имеют вероятностную структуру, а поэтому с помощью теории вероятности удаётся более полно предвидеть, как будет протекать процесс усвоения учебного материала, заранее определять необходимые ...

Средства, используемые при реализацииздоровьесберегающих технологий
Для достижения целей здоровьесберегаюших образовательных технологий обучения применяются следующие группы средств: 1) средства двигательной направленности; 2) оздоровительные силы природы; 3) гигиенические факторы; 4) факторы становления ц ...

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.edutarget.ru