Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

Целое число, не являющееся делителем 10, не может быть корнем данного многочлена.

На самом деле верно и общее утверждение, а его доказательство проводится буквально по той же схеме, что в рассмотренном примере.

Теорема 1 (о целых корнях).

Если целое число k - корень многочлена с целыми коэффициентами, то k - делитель его свободного члена.

Доказательство.

Пусть

f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

- многочлен с целыми коэффициентами, и целое число k - его корень.

Тогда, по определению корня, выполняется равенство f(k) = 0, т. е.

a0kn + a1kn-1 + … + an-1k + an = 0,

Вынося общий множитель k за скобки, получим равенство

k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) + an = 0,

откуда

an = -k(a0kn-1 + a1kn-2 + … + an-1) .

Так как числа a0, a1,…, an-1, an и k - целые, то в скобках стоит целое число, и следовательно, аn делится на k, что и требовалось доказать.

Доказанная теорема может быть сформулирована и следующим образом: всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Итак, задача нахождения целых корней многочлена с целыми коэффициентами полностью решена - с помощью теории делимости целых чисел.

Но оказывается, что на той же основе можно получить алгоритм поиска и дробных корней многочленов с целыми коэффициентами.

Теорема 2 (о рациональных корнях).

Пусть рациональное число - корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь - несократимая. Тогда числитель дроби p - делитель свободного члена, а знаменатель q - делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство.

Пусть рациональное число где q - несократимая дробь, является корнем многочлена f = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an c целыми коэффициентами.

Это означает, что выполняются равенства

f() = a0()n + a1()n-1 + … + an-1() + an = 0,

a0() + a1() + … + an-1() + an = 0,

откуда после приведения к общему знаменателю получим

a0pn + a1pn-1q + … + an-1pqn-1 + anqn = 0,

Полученное равенство можно переписать в виде

a0pn = -q(a1pn-1 + … + an-1pqn-2 + anqn-1 )= 0,

откуда следует, что a0pn делится на q. Так как дробь несократима, то числа р и q не имеют общих простых делителей, а тогда числа рn и q также не имеют общих простых делителей.

Поэтому а0 делится на q, что и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что аn делится на р. Теорема доказана.

Заметим, что теорема о целых корнях является простым следствием только что доказанной теоремы: если положить q = 1, то дробь p/1 = р несократима, и поэтому свободный член аn делится на числитель р.

Другим важным следствием этой теоремы является следующее утверждение.

Теорема 3. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Доказательство.

Пусть - корень многочлена со старшим коэффициентом 1. Тогда по теореме 2 число 1 делится на q, а это возможно только когда q = +1, так что действительно является целым числом. Теорема доказана.

Эта теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

1. "Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней".

2. "Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные".

Следует обратить внимание учащихся на то, что утверждения, обратные к теоремам о целых и рациональных корнях, неверны. Например, утверждение, обратное к теореме о целых корнях, может быть сформулировано следующим образом: "Если целое число k - делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами, то k - корень этого многочлена" или "Всякий делитель свободного члена многочлена с целыми коэффициентами является его корнем". Так как эти факты можно опровергнуть простой проверкой, то они могут быть предложены учащимся в качестве задач.

3. Теорема о делении с остатком. Материал, представленный в этом пункте, необходим для открытия теоремы Безу.

Определение. Пусть f и g — два многочлена, причем g ¹ 0. Многочлен f делится на многочлен g тогда и только тогда, когда существует такой многочлен h, что f=gh.

Новое о педагогике:

Реформирование во время и после перестройки
Перестроечное же реформирование изначально было нацелено на разрушение сложившейся системы образования. Причём это открыто провозглашалось в докладе тогдашнего министра Э.Д. Днепрова "Развитие образования в России" (1992 г.). Осн ...

Влияние игр на развитие ребенка, его личности
Ученик начальной школы психологически включен в игру. Он свободно и самостоятельно выбирает для себя ту или иную игрушку, придумывает тот или иной сюжет, включает в свою игру сверстника, и они действуют по правилам, которые они сами устано ...