Методические особенности изучения Теоремы Безу в 7-9 классах

4.Теорема Безу. В учебной литературе представлены различные трактовки и доказательства теоремы Безу, приведем некоторые из них.

Остаток от деления многочлена f(x) на x-a равен значению f(x) при x=a.

Доказательство.

Рассмотрим произвольный многочлен f(x) и разделим его с остатком на двучлен x-а. Поскольку степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен 0, либо имеет степень 0. И в том, и в другом случае остаток r есть число. Таким образом, многочлен f(x) представляется в виде

f (x) = (x — a) q(x)+r.

Положив в этом тождестве x=a, получим, что f(a) =r. Мы доказали тем самым, что остаток от деления многочлена на двучлен x-a равен значению многочлена при х=а [32].

Для того чтобы многочлен f(x) делился на x-c, необходимо и достаточно, чтобы f(c)=0.

Доказательство.

Необходимость. Пусть f(x) делится на x-c, т.е. f(x)=(x-c)h(x). Следовательно f(c)=0.

Достаточность. Пусть f(c)=0. Тогда в равенстве f(x)=(x-c)h(x)+r будет

r=f(c)=0, т.е. f(x)=(x-c)h(x) [11].

3. Пусть f(x) – многочлен, c – некоторое число.

1) f(x) делится на двучлен x-c тогда и только тогда, когда число с является его корнем.

2) Остаток от деления f(x) на x-c равен f(c).

Доказательство.

Сначала мы докажем второе утверждение. Для этого разделим f с остатком на x-c:

f(x)=(x-c)q+r;

по определению остатка, многочлен r либо равен 0, либо имеет степень, меньшую степени x-c, т.е. меньшую 1.

Но степень многочлена меньше 1 только в том случае, когда она равна нулю, и поэтому в обоих случаях r на самом деле является нулем или отличным от нуля числом.

Подставив теперь в равенство f(x)=(c-c)q(c)+r значения x=c, мы получим

f(c)=(c-c)q(c)+r,

так что действительно r=f(c), и второе утверждение доказано [10].

Теперь первое утверждение почти очевидно. В самом деле, утверждение "f(x) делится на x-c" означает, что остаток от деления равен 0. Но остаток, по доказанному, равен f(c), так что "f(x) делится на x-c" означает тоже самое, что и f(c)=0.

Чаще всего в учебной литературе встречается первая формулировка, но она будет трудно доступна для восприятия учащимися в силу своей краткости.

На мой взгляд, наиболее удачны третья формулировка и доказательство (Дорофеев, Пчелинцев) теоремы Безу, но 1-й и 2-й пункты следует поменять местами потому что, во-первых, утверждение 2 проще открыть и, во-вторых, с него начинается доказательство теоремы.

5. Следствия из теоремы Безу. Материал, представленный в данном пункте, позволит учащимся ответить на важный теоретический вопрос: "Сколько корней имеет уравнение n-степени?"

Теорема 1.

Многочлен степени n имеет не более n корней.

Доказательство.

Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и с – один из его корней. Предположим противное – пусть k> n.

По теореме Безу, f=(x-c)g, и частное g имеет степень n-1. Всякий корень f, отличный от с, является одновременно и корнем g: если f(a)=0, то (a-c)g(a)=0, откуда g(a)=0, так как a¹c. Другими словами, многочлен g имеет по меньшей мере k-1> n-1 корней, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно привести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k> n неверно, и следовательно, k не больше n.

Нетрудно привести примеры, когда многочлен степени имеет ровно n корней и когда он имеет меньше n корней, в частности, вообще не имеет корней. Эти примеры полезно придумать самостоятельно.

При этом следует иметь в виду, что число корней многочлена существенно зависит от того, какое числовое множество мы рассматриваем.

Например, многочлен f=x2-2 не имеет корней в множестве рациональных чисел Q – не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. В то же время в множестве действительных чисел R он имеет два иррациональных корня (±).

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительных важных и для теории, и для практики утверждения.

Теорема 2.

Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения по меньшей мере при n+1 значении х тогда и только тогда, когда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты.

Доказательство.

"В одну сторону" это утверждение очевидно: если многочлены имеют одинаковые коэффициенты, то при всех значениях х они, естественно, принимают одинаковые значения.

И наоборот, если многочлены f и g имеют степень не больше n, то их разность h либо является нулевым многочленом, а тогда при каждой степени х они имеют одинаковые коэффициенты, либо отлична от нуля и имеет степень не больше n. Но тогда эта разность имеет не меньше чем n+1 корень – это те значения переменной х=хi, при которых h(xi)=f(xi)-g(xi)=0, что противоречит теореме 1 о числе корней: число корней разности большее ее степени.

Новое о педагогике:

Принципы и типы систематизации и обобщения
Систематизация должна быть целенаправленной, объективной, всесторонней, регулярной и индивидуальной. Раскроем эти принципы систематизации подробнее. а) Целенаправленность предполагает четкое определение цели каждой формы. Постановка цели о ...

Психологическая деформация семьи как главный фактор девиантного поведения подростков
Под дисгармоничной семьей понимается семья, которая не выполняет свои функции, не обеспечивает достаточное удовлетворение потребностей всех членов семьи, возможности их личностного роста вследствие нарушения ролевой структуры семьи, отсутс ...