Методические рекомендации по изучению темы «Соотношение между сторонами и углами треугольника» в 7 классе

Этап урока

Действие учителя

Доска

Действия учащихся

Орг. момент

1 мин

Актуазация

знаний

1 мин

Введение

нового

материала

25 мин

Актуализация знаний

7 мин

Закрепление

полученных знаний

11 мин

Здравствуйте дети!

Сегодня на уроке мы с вами поподробнее остановимся на прямоугольных треугольниках, рассмотрим, какими свойствами они обладают, и сравним признаки их равенства с признаками равенства произвольных треугольников.

Но прежде повторим с вами, какие виды треугольников мы с вами уже знаем?

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.

Рассмотрим свойства прямоугольных треугольников, которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.

Скажите, пожалуйста, если сумма углов треугольника равна 180, то чему равна сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике?

Правильно, только что мы с вами узнали одно из свойств прямоугольного треугольника.

А если сумма острых углов равна 90, значит каждый из этих углов меньше 90, что можно сказать про прямой угол (в сравнении с остальными)?

А как называется сторона лежащая против угла в 90?

Что про нее можно сказать?

Хорошо. Теперь познакомимся еще с одним свойством.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30

Хорошо. Ранее мы с вами изучали признаки равенства треугольников.

Какие два треугольника называются равными?

Теперь повторим признаки равенства треугольников.

1-ый признак равенства?

2-ой признак равенства?

3-ий признак равенства?

Все эти свойства сохраняются и для прямоугольных треугольников. Рассмотрим признаки равенства прямоугольных треугольников.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

Теорема.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Пользуясь признаками равенства обычных треугольников, быстро пробежимся по доказательствам.

Правильно, ведь:

Т.к. А=А, то треугольник АВС можно наложить на треугольник АВС так, что вершина А совместится с вершиной А, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи АВ и АС. Поскольку АВ=АВ, АС=АС, то сторона АВ совместится со стороной АВ, а сторона АС - со стороной АС: в частности, совместятся точки В и В, С и С Совместятся стороны ВС и ВС. И так, треугольники АВС и АВС полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Далее, из второго признака равенства треугольников следует:

Теорема.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Это свойство тоже следует из того что мы с вами уже повторили, ведь:

Если мы наложим треугольник АВС на АВС так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А, сторона АВ-с равной ей стороной АВ, а вершина С и С оказались по одну сторону от прямой АВ. Т.к.А= А и В= В, то сторона АС наложится на луч АС, а сторона ВС – на луч ВС. Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче АС, так и на луче ВС и совместятся с общей точкой этих лучей – вершиной С. Значит, совместятся стороны АС и АС, ВС и ВС. И так, треугольники АВС и АВС полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Док-во:

Из свойства (сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90) следует, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т.е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.

Теорема доказана.

Теорема.

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Док-во:

Рассмотрим треугольники АВС и АВС, у которых углы С и С – прямые, АВ=АВ, ВС=ВС. Докажем, что АВС=АВС.

Т.к. С=С, то треугольник АВС можно наложить на треугольник АВС так, что вершина С совместится с вершиной С, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи СА и СВ. Поскольку СВ=СВ, то вершина В совместится с вершиной В. Но тогда вершины А и А также совместятся. В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А луча СА, то получим равнобедренный треугольник АВА, в котором углы при основании АА не равны (на рисунке А – острый, а А – тупой как смежный с острым углом ВАС). Но это невозможно, поэтому вершины А и А совместятся. Следовательно, полностью совместятся треугольники АВС и АВС, т.е. они равны. Теорема доказана.

После доказательств теорем, учитель еще повторяет все формулировки и доказательства, после чего переходит к решению задач.

А теперь ребята, рассмотрим, как применяются эти признаки при решении задач.

Задача №1.

Один из углов прямоугольного треугольника равен 60, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4. Найдите гипотенузу треугольника.

Выходит ученик к доске (желающий)

Задача №2.

В треугольниках АВС и АВС углы А и А-прямые, ВD и BD-биссектрисы. Докажите, что АВС=АВС если угол В равен В и ВD=BD.

На решение задачи к доске вызывается любой желающий.

Эта задача хороша не только тем, что в ней работает новый материал, но и тем, что при решении ее необходимо воспользоваться материалом предыдущей темы.

Остроугольный, тупоугольный и прямоугольный.

Что он самый большой

Гипотенуза

Что она всегда больше катетов.

Если они совпадают при наложении.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Они равны по первому признаку.

Решение.

А=А, В=В

С=С (по теореме о сумме углов треугольника)

Т.к. ВД и ВД – биссектрисы и ВД=ВД – (по условию), то

АВД=АВД

ВДА=ВДА (по свойству прямоугольного треугольника)

ВДС=ВДС

АВД и ВДС (по катету и острому углу)

АВС

Что и требовалось доказать.